Question

（本小題滿分14分）已知橢圓，它的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.⑴求橢圓的方程；⑵設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線為，動(dòng)直線垂直于直線，垂足為點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；⑶將曲線向右平移2個(gè)單位得到曲線,設(shè)曲線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，過作直線交曲線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于曲線的對(duì)稱軸的直線，若，試證明三點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）在同一條直線上．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）三點(diǎn)共線

（Ⅰ）由題意可得 ，  （2分）
由，得，∴, （4分）
∴橢圓的方程為. （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線為,      
連結(jié)，則，設(shè)，則,
∴，（6分）化簡得的方程為.（8分）
（Ⅲ）將曲線向右平移2個(gè)單位,得曲線的方程為: ,其焦點(diǎn)為，
準(zhǔn)線為，對(duì)稱軸為軸．（10分）
設(shè)直線的方程為，代入y²=4x，得y²－4ty－4=0．
由題意，可設(shè)()，()，則y₁y₂=－4，
且有 （12分）∴，，
得．∴三點(diǎn)共線．　（14分）
評(píng)析：證明三點(diǎn)共線的方法很多,這里運(yùn)用向量共線定理來證，體現(xiàn)了平面向量與解析幾何知識(shí)的交匯和平面向量知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用．近幾年的高考突出了在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)命題的要求，平面向量與解析幾何知識(shí)的綜合考查成為一個(gè)不衰的熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)中要引起重視．