Question

已知函數(shù)f（x）=a（1-|x-1|），a為常數(shù)，且a＞1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）證明函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，討論方程f（f（x））=m解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)于①去掉絕對(duì)值分段討論；對(duì)于②依據(jù)對(duì)稱的定義證明；對(duì)于③根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義把絕對(duì)值去掉即可

解答： 解：（1）f(x)=a(1-|x-1|)=

a(2-x)，x≥1 ax，x＜1

當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）為增函數(shù)，最大值為a；當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）為減函數(shù)，最大值為a，故f（x）的最大值為a．
（2）設(shè)點(diǎn)（x₀，y₀）為y=f（x）上任意一點(diǎn)，則
，f（2-x₀）=a（1-|2-x₀-1|）=a（1-|1-x₀|）=a（1-|x₀-1|）=y₀=f（x₀）
∴f（2-x₀）=f（x₀），令2-x₀=1+x，則x₀=1-x，∴f（1+x）=f（1-x），即x=1是函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸，
所以，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
（3）當(dāng)a=2時(shí)，f(f(x))=

4x，x＜ 1 2 4-4x， 1 2 ≤x＜1 4x-4，1≤x≤ 3 2 8-4x，x＞ 3 2

如圖，當(dāng)m＜0時(shí)，方程有2個(gè)解；當(dāng)m=0時(shí)，方程有3個(gè)解；當(dāng)0＜m＜2時(shí)，方程有4個(gè)解；當(dāng)m=2時(shí)，方程有2個(gè)解．
綜合上述，當(dāng)m＜0或m=2時(shí)，方程有2個(gè)解；當(dāng)m=0時(shí)，方程有3個(gè)解；當(dāng)0＜m＜2時(shí)，方程有4個(gè)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)單調(diào)性，對(duì)稱的定義，復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．