Question

15．若f（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-lnx在[1，+∞）單調(diào)遞減，求m范圍．

Answer 1

分析 先求f′（x），再由題意，可得f′（x）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，解出即可．

解答 解：由于f（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-lnx=$\frac{m（x+1-2）}{x+1}-lnx$=m-$\frac{2m}{x+1}$-lnx，
則f′（x）=$\frac{2m}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
①當(dāng)m=0時(shí)，f′（x）＜0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
則f（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-lnx在[1，+∞）單調(diào)遞減，即m=0適合題意；
②當(dāng)m≠0時(shí)，f′（x）=$\frac{2m}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{2mx-（x+1）^{2}}{（x+1）^{2}•x}$=$\frac{-{x}^{2}+2（m-1）x-1}{x（x+1）^{2}}$，
∵f（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-lnx在[1，+∞）單調(diào)遞減，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2（m-1）x-1}{x（x+1）^{2}}$≤0即g（x）=-x²+2（m-1）x-1≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
∴△≤0或$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ g（1）≤0\end{array}\right.$，解得0≤m≤2或m＜0，∴m≤2，
∴m的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，屬于中檔題．