Question

（2009•河?xùn)|區(qū)二模）已知sin(α+

π

4

)=

4

5

，

π

4

＜α＜

3π

4

，則cos2α的值是（　　）

• A．

  24

  25

• B．

  7

  25

• C．-

  24

  25

• D．-

  7

  25

Answer 1

分析：已知等式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，求出sinα+cosα的值，兩邊平方并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求出sinαcosα的值，利用完全平方公式求出（sinα-cosα）²的值，根據(jù)α的范圍判斷出sinα-cosα的正負(fù)，開方求出sinα-cosα的值，所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：∵sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

4

5

，
∴sinα+cosα=

4 2

5

，
兩邊平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

32

25

，即2sinαcosα=

7

25

，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

18

25

，
∵

π

4

＜α＜

3π

4

，∴sinα＞cosα，即sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=

3 2

5

，
則cos2α=cos²α-sin²α=-（sinα+cosα）（sinα-cosα）=-

24

25

．
故選C

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．