Question

已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線 的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3)

【解析】

試題分析： (1)利用點(diǎn)到直線的距離公式直接求解C的值，便可確定拋物線方程；（2）利用求導(dǎo)的思路確定拋物線的兩條切線，借助均過點(diǎn)P，得到直線方程；（3）通過直線與拋物線聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和拋物線定義將進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，通過參數(shù)的消減得到函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，然后利用二次函數(shù)求最值，需注意變量的范圍.

試題解析：（1）依題意，解得（負(fù)根舍去）         （2分）

拋物線的方程為；                                          （4分）

（2）設(shè)點(diǎn),，，由,即得. 

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.   （5分）

∵， ∴ .    ∵點(diǎn)在切線上,   ∴.        ①

同理， .  ②  （6分）

 綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 .  （7分）

∵經(jīng)過兩點(diǎn)的直線是唯一的，∴直線 的方程為，即； （8分）

（3）由拋物線的定義可知， （9分）

所以聯(lián)立，消去得，

    （10分）

     （11分）

當(dāng)時(shí)，取得最小值為                           （12分）

考點(diǎn)：拋物線的方程、定義、切線方程以及直線與拋物線的位置關(guān)系.