Question

已知拋物線C：x²=2py（p>0）上的一點(diǎn)Q（m，2）到其焦點(diǎn)F的距離為3。

（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)坐標(biāo)平面上的點(diǎn)F'作拋物線C的兩條切線l₁和l₂，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)。
（i）若點(diǎn)F'的坐標(biāo)為（0，-1），如圖，求證：△ABF′的外接圓過(guò)點(diǎn)F；
（ii）試探究：若改變點(diǎn)F'的位置，或拋物線的開(kāi)口大小，（i）中的結(jié)論是否仍然成立？由此給出一個(gè)使（i）中的結(jié)論成立的命題，并加以證明。

Answer 1

解：（1）由拋物線的定義，得，解得p=2
故拋物線C的方程為x²=4y。
（2）（i）依題意知，過(guò)點(diǎn)F'（0，-1）且與曲線C相切的直線的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx-1，
由得x²-4kx+4=0
令Δ=0得k=±1
故所求的兩條切線分別為l₁：y=x-1；l₂：y=-x-1
設(shè)l₁交x軸于點(diǎn)A，l₂交x軸于點(diǎn)B
由得A（1，0），
由得B（-1，0）
設(shè)△ABF'的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則
解得
故△ABF的外接圓方程為x²+y²=1，它過(guò)點(diǎn)F（0，1）。
（ii）命題：設(shè)F'為拋物線x²=2py外一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)F'作拋物線的兩條切線l₁，l₂，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，則△ABF'的外接圓過(guò)此拋物線的焦點(diǎn)F，
證明：設(shè)l₁，l₂分別切拋物線x²=2py于P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
則x₁≠0，x₂≠0
∵y'=，故l₁，l₂的方程分別為（x-x₁）和y-y₂=
由得
由得
由得F'
AB的垂直平分線方程為
AF′的垂直平分線方程為
它們的交點(diǎn)為
又，
故AF的中點(diǎn)為
所以，
∴。