Question

已知橢圓的離心率為，兩焦點之間的距離為4．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）過橢圓的右頂點作直線交拋物線y²=4x于A、B兩點，
（1）求證：OA⊥OB；
（2）設(shè)OA、OB分別與橢圓相交于點D、E，過原點O作直線DE的垂線OM，垂足為M，證明|OM|為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的離心率為，兩焦點之間的距離為4，即可確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）（1）設(shè)過橢圓的右頂點（4，0）的直線AB的方程為x=my+4，代入拋物線方程y²=4x，得y²-4my-16=0．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），再驗證x₁x₂+y₁y₂=0即可；
（2）設(shè)D（x₃，y₃）、E（x₄，y₄），直線DE的方程為x=ty+λ，代入，得（3t²+4）y²+6tλy+3λ²-48=0．
根據(jù)OD⊥OE，可得x₃x₄+y₃y₄=0，從而可得7λ²=48（t²+1），即可計算原點到直線DE的距離為定值．
解答：解：（Ⅰ）由得，
故b²=a²-c²=12．
所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（Ⅱ）（1）設(shè)過橢圓的右頂點（4，0）的直線AB的方程為x=my+4．
代入拋物線方程y²=4x，得y²-4my-16=0．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
∴x₁x₂+y₁y₂=（my₁+4）（my₂+4）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16=0．
∴OA⊥OB．
（2）設(shè)D（x₃，y₃）、E（x₄，y₄），直線DE的方程為x=ty+λ，代入，得（3t²+4）y²+6tλy+3λ²-48=0．
于是．
從而
∵OD⊥OE，
∴x₃x₄+y₃y₄=0．
代入，整理得7λ²=48（t²+1）．
∴原點到直線DE的距離為定值．
點評：本題重點考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的、拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解．