Question

已知函數(shù)其中a是實數(shù)．設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點，且．

（1）指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

（2）若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且，求的最小值;

（3）若函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）[－1，0)，(0，+∞)

（2）1

（3）(－ln2－1，+∞)

【解析】（1）函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，0)，(0，+∞)．

（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點A處的切線斜率為，點B處的切線斜率為，

故當(dāng)點A處的切線與點B處的切線垂直時，有．

當(dāng)x<0時，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得．

因為，所以，

所以．

因此

當(dāng)且僅當(dāng)，即且時等號成立．

所以函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，的最小值為1．

（3）當(dāng)或時，，故．

當(dāng)時，函數(shù)f(x)的圖象在點處的切線方程為，

即．

當(dāng)時，函數(shù)f(x)的圖象在點處的切線方程為，即．

兩切線重合的充要條件是

由（1）式及知，．

由（1）（2）式得，．

設(shè)，

則．

所以是減函數(shù)．

則．

所以．

又當(dāng)且趨近于－1時，無限增大，

所以a的取值范圍是．

故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點A，B處的切線重合時，a的取值范圍是．