已知分別是橢圓的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓 上,且直線與直線的斜率之積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)為橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),直線,與橢圓的右準(zhǔn)線分別交于點(diǎn),.
①在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
②已知常數(shù),求的取值范圍.
(1);(2)①存在點(diǎn)的坐標(biāo)為,②.
【解析】
試題分析:(1)利用題目條件建立關(guān)于a,b,c的方程組,解方程組即可;
(2)①對于存在性問題,可以先假設(shè)點(diǎn)存在,然后根據(jù)以及點(diǎn)P在橢圓上直線,與橢圓的右準(zhǔn)線分別交于點(diǎn),等相關(guān)條件建立方程,看看點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是不是定值,如果是即為所求,如果不是也就說明了不存在;②利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,計(jì)算, ,進(jìn)而求出的表達(dá)式,在利用函數(shù)知識求取值范圍.
試題解析:(1)由題意得,,
, ∴,
由點(diǎn)在橢圓C上,則有:
, 2分
由以上兩式可解得.
∴橢圓方程為. 4分
(2)①橢圓右準(zhǔn)線的方程為. 5分
假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn),使得.設(shè)點(diǎn)().
直線的方程為,令,,∴點(diǎn)坐標(biāo)為.
直線的方程為,令,,
∴點(diǎn)坐標(biāo)為. 7分
若,則,∵ ,,
∴. 9分
∵點(diǎn)在橢圓上,∴,∴ ,代入上式,得 ,
∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為. 11分
②∵, ,
∴.
∵,,∴.
∴ . 13分
設(shè)函數(shù),定義域?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),即時(shí),在上單調(diào)遞減,的取值范圍為,
當(dāng)時(shí),即時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,的取值范圍為 .
綜上,當(dāng)時(shí),的取值范圍為,
當(dāng)時(shí),的取值范圍為. 16分
考點(diǎn):(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算;(3)函數(shù)的單調(diào)性求值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江西省宜春市高二上學(xué)期期末統(tǒng)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比,且成等差數(shù)列,則 的值為( )
A. B.
C. D.或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江西南昌市四校高二上學(xué)期期末聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知 ,則S1,S2,S3的大小關(guān)系為( )
A. S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C. S2<S3<S1 D.. S3<S2<S1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江西南昌市四校高二上學(xué)期期末聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
若函數(shù)在處取極值,則a=________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江西南昌市四校高二上學(xué)期期末聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若函數(shù)在R上可導(dǎo),且,則( )
A. B. C. D. 不能確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江蘇省常州市高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知為實(shí)數(shù),:點(diǎn)在圓的內(nèi)部; :都有.
(1)若為真命題,求的取值范圍;
(2)若為假命題,求的取值范圍;
(3)若“且”為假命題,且“或”為真命題,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江蘇省常州市高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動,F為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,2),當(dāng)PM+PF取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江蘇省常州市高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,在三棱錐中,,,,,則BC和平面ACD所成角的正弦值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江蘇省儀征市高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為___________.
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