Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BC₁∥平面MA₁C；
（2）求直線BC₁與平面AA₁B₁B所成角的大�。�

Answer 1

解：（1）連接AC₁，交A₁C于O點(diǎn)，連接OM
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴四邊形AA₁C₁C是矩形，可得AO=OC₁
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴OM是△A₁CB的中位線，可得OM∥BC₁，
又∵OM?平面MA₁C，BC₁?平面MA₁C
∴BC₁∥平面MA₁C；
（2）根據(jù)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥BC，可得CA、CB、CC₁兩兩垂直，
因此以C為原點(diǎn)，CA、CC₁、CB分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AC=1，可得C（0，0，0），A（1，0，0），A₁（1，1，0），C₁（0，1，0），B（0，0，1），
設(shè)平面AA₁B₁B的一個(gè)法向量為=（x，y，z），直線BC₁與平面AA₁B₁B所成角是α
∵=（0，1，0），=（-1，0，1），
∴可得方程組，取x=1，得y=0，z=1
由此可得平面AA₁B₁B的法向量為=（1，0，1），
∵=（0，1，-1），
∴sinα=|cos＜，＞|==
∵直線BC₁與平面AA₁B₁B所成角α是銳角
∴α=30°，即直線BC₁與平面AA₁B₁B所成角為30°
分析：（1）連接AC₁，交A₁C于O點(diǎn)，連接OM．可證出OM是△A₁CB的中位線，得OM∥BC₁，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到BC₁∥平面MA₁C；
（2）分別以CA、CC₁、CB為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC=1，得出C、A、A₁、C₁、B各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，算出平面AA₁B₁B的法向量為=（1，0，1）．用空間向量的夾角公式算出與夾角的余弦值，即可得到直線BC₁與平面AA₁B₁B所成角的正弦之值，從而得到直線BC₁與平面AA₁B₁B所成角的大�。�
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的直三棱柱，求證線面平行并求直線與平面所成角的大小，著重考查了直線與平面平行的判定和利用空間向量求直線與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．