Question

（2012•洛陽模擬）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a＜

1

2

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，對于任意的n∈N₊，且n≥2，證明：不等式

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＞

3

4

-

2n+1

2n(n+1)

．

Answer 1

分析：（I）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（II）先證明x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0，再設(shè)g（x）=f（x）-（x²-1）=lnx+

1

x

-x²（x＞1），求導(dǎo)函數(shù)，確定g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而可得

1

f(x)

＞

1

x2-1

=

1

2

（

1

x-1

-

1

x+1

），再疊加，即可得到結(jié)論．

解答：（I）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x-1

x2

，令f′(x)=

x-1

x2

＞0可得x＞1，令f′(x)=

x-1

x2

＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0得-ax²+x-1+a＞0，解得x＞1或x＜

1

a

-1（舍去），此時(shí)函數(shù)f（x）在（1，+∞_上增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0得-ax²+x-1+a＞0，解得1＜x＜

1

a

-1
此時(shí)函數(shù)f（x）在（1，

1

a

-1）上是增函數(shù)，在（0，1）和（

1

a

-1，+∞）上是減函數(shù)   …（6分）
（II）證明：由（I）知：a=0時(shí)，f（x）=lnx+

1

x

-1在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0
設(shè)g（x）=f（x）-（x²-1）=lnx+

1

x

-x²（x＞1），則g′(x)=

-(x+1)(2x2-2x+1)

x2

∵2x²-2x+1＞0恒成立，∴x＞1時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴x＞1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜x²-1
∵f（x）＞0，∴

1

f(x)

＞

1

x2-1

=

1

2

（

1

x-1

-

1

x+1

）
∴

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＞

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

）=

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)=

3

4

-

2n+1

2n(n+1)

∴不等式得證                              …（12分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題．