三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直線B1C與平面ABC成30°角，求二面角B－B1C－A的正弦值．

答案：
解析：

　　解：由直三棱柱性質(zhì)得平面ABC平面BCC1B1，過A作AN平面BCC1B1，垂足為N，則AN平面BCC1B1，(AN即為我們要找的垂線)在平面BCB1內(nèi)過N作NQ棱B1C，垂足為Q，連QA，則NQA即為二面角的平面角．

　　∵AB1在平面ABC內(nèi)的射影為AB，CAAB，∴CAB1A，AB＝BB1＝1，得AB1＝．∵直線B1C與平面ABC成30°角，∴B1CB＝30°，B1C＝2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC＝，∴AQ＝1．在Rt△BAC中，AB＝1，AC＝，得AN＝．

　　sinAQN＝＝．即二面角B－B1C－A的正弦值為．


提示：

可以知道，平面ABC與平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性質(zhì)來尋找從一個半平面到另一個半平面的垂線．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C1上的點，且BM=2A1M，C1N=2B1N．設(shè)
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA1
=
c
．
（Ⅰ）試用
a
，
b
，
c
表示向量
MN
；
（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求MN的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線A1B與CC1所成的角的余弦值為（　　）
A、
7
4
B、
5
4
C、
3
4
D、
2
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分別是A1B1，AB 的中點，給出如下三個結(jié)論：
①C1M⊥平面A1ABB1
②A1B⊥AM
③平面AMC1∥平面CNB1，其中正確結(jié)論為
①②③
①②③
（填序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1D1中，點M是A1B的中點，點N是B1C的中點，連接MN．
（I）證明：MN∥平面ABC；
（II）若AB=1，AC=AA1═
3
，BC=2，點P是CC1的中點，求四面體B1-APB的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•浙江模擬）已知三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC為正三角形，AA1⊥平面ABC，BC=
2
BB1=2
2
，O為BC中點．
（Ⅰ）求證：A1B∥平面AOC1；
（Ⅱ）求直線AC與平面AOC1所成角的正弦值．

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