Question

正方形ABCD的對(duì)角線AC在直線x+2y-1=0上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-5，3），B（m，0）（m＞-5），求B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：根據(jù)直線BD⊥AC，求出BD斜率為2，利用點(diǎn)斜式給出BD方程．將BD、AC方程聯(lián)解可得E點(diǎn)關(guān)于m的坐標(biāo)，由|AE|=|BE|列式解出m=-4，從而得到E點(diǎn)、B點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出點(diǎn)C、D點(diǎn)的坐標(biāo)，得到本題的答案．

解答：解：如圖，設(shè)正方形ABCD兩頂點(diǎn)C，D坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
∵直線BD⊥AC，k_AC=-

1

2

，∴k_BD=

-1

kAC

=2，
可得直線BD方程為y=2（x-m），
與x+2y-1=0聯(lián)解，得

x= 1 5 + 4 5 x y= 2 5 - 2 5 m

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

1

5

+

4

5

m，

2

5

-

2

5

m），
又∵|AE|=|BE|，∴

( 1 5 + 4 5 m+5)2+( 2 5 - 2 5 m-3)2

=

( 1 5 + 4 5 m-m)2+( 2 5 - 2 5 m)2

，
平方整理，得m²+18m+56=0，解之得m=-4或m=-14（因?yàn)閙＞-5，舍去此解），
可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，0），
∵點(diǎn)E坐標(biāo)為（-3，2），E為AC中點(diǎn)
∴

-3= -5+x1 2 2= 3+y1 2

，解之得

x1=-1 y1=1

，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，1），
同理可得點(diǎn)D坐標(biāo)為（-2，4），
綜上所述，點(diǎn)B（-4，0），點(diǎn)C（-1，1），點(diǎn)D（-2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出正方形的對(duì)角線位置和一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求它另外頂點(diǎn)的坐標(biāo)，著重考查了直線的基本形式、直線的位置關(guān)系和與直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程等知識(shí)，屬于中檔題．