Question

如圖，在海岸線l一側(cè)C處有一個(gè)美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在l上設(shè)立了A、B兩個(gè)報(bào)名點(diǎn)，滿足A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為10千米．公司擬按以下思路運(yùn)作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處（點(diǎn)D異于A、B兩點(diǎn)），然后乘同一艘游輪前往C島．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費(fèi)2元，游輪每千米耗費(fèi)12元．設(shè)∠CDA=α，每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本S元．
（1）寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并指出α的取值范圍；
（2）問中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時(shí)，S最��？

Answer 1

解：（1）由題在△ACD中，．
由正弦定理知，得…（3分）∴=…（7分）
（2），令S′=0，得…（10分）
當(dāng)時(shí)，S′＜0；當(dāng)時(shí)，S′＞0，∴當(dāng)時(shí)S取得最小值…（12分）
此時(shí)，
∴中轉(zhuǎn)站距A處千米時(shí)，運(yùn)輸成本S最小…（14分）
分析：（1）由題在△ACD中，由余弦定理求得CD、AD的值，即可求得運(yùn)輸成本S的解析式．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求得cosα=時(shí)，函數(shù)S取得極小值，由此可得中轉(zhuǎn)點(diǎn)D到A的距離以及S的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求極值，屬于中檔題．