Question

如圖，某機(jī)場(chǎng)建在一個(gè)海灣的半島上，飛機(jī)跑道AB的長(zhǎng)為4.5km，且跑道所在的直線與海岸線l的夾角為60°（海岸線可以看作是直線），跑道上離海岸線距離最近的點(diǎn)B到海岸線的距離BC=4

3

km．D為海灣一側(cè)海岸線CT上的一點(diǎn)，設(shè)CD=x（km），點(diǎn)D對(duì)跑道AB的視角為θ．
（1）將tanθ 表示為x的函數(shù)；
（2）求點(diǎn)D的位置，使θ取得最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過(guò)A分別作直線CD，BC的垂線，求出AE，在直角三角形中，設(shè)CD=x，利用三角函數(shù)tan∠BCD，討論x的取值范圍得到tan∠ADC有兩種情況求得結(jié)果一樣，而tanθ等于tan∠ADC-tan∠BDC，利用正切公式tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

求出其值即可．
（Ⅱ）根據(jù)a+b≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法，求出tanθ的最大值，根據(jù)正切函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)得到x的值表示出D的位置即可．

解答：解：（Ⅰ）過(guò)A分別作直線CD，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．由題可知，AB=4.5，BC=4

3

，∠ABF=90°-60°=30°，
所以CE=AF=4.5×sin30°=

9

4

，BF=4.5×cos30°=

9

4

3

，AE=CF=BC+BF=

25

4

3

．
因?yàn)镃D=x（x＞0）．所以tan∠BDC=

BC

CD

=

4 3

x

．
當(dāng)x＞

9

4

時(shí)，ED=x-

9

4

，tan∠ADC=

AE

ED

=

25 3 4

x- 9 4

=

25 3

4x-9

（如圖1）．
當(dāng)0＜x＜

9

4

時(shí)，ED=

9

4

-x，tan∠ADC=-

AE

ED

=

25 3

4x-9

（如圖2）．
所以tanθ=tan∠ADB=tan（∠ADC-∠BDC）=

tan∠ADC-tan∠BDC

1+tan∠ADC•tan∠BDC

=

25 3 4x-9 - 4 3 x

1+ 25 3 4x-9 •  4 3 x

=

9 3 (x+4)

x(4x-9)+300

，其中x＞0且x≠

9

4

．
當(dāng)x=

9

4

時(shí)，tanθ=

CE

BC

=

9 3

48

，符合上式．
所以tanθ=

9 3 (x+4)

x(4x-9)+300

．x＞0

圖1圖2

（Ⅱ）tanθ=

9 3 (x+4)

x(4x-9)+300

=

9 3

4(x+4)+ 400 x+4 -41

，x＞0．
因?yàn)?（x+4）+

400

x+4

-41≥2

4(x+4)• 400 x+4

-41=39，當(dāng)且僅當(dāng)4（x+4）=

400

x+4

，即x=6時(shí)取等號(hào)．
所以當(dāng)x=6時(shí)，4（x+4）+

400

x+4

-41取最小值39．
所以當(dāng)x=6時(shí)，tanθ取最大值

3 3

13

．
由于y=tanx在區(qū)間（0，

π

2

）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x=6時(shí)，θ取得最大值．
答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點(diǎn)6km處的D點(diǎn)處觀看飛機(jī)跑道的視角最大．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型的能力．