Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx-x

x

．
（Ⅰ）求點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得f′（1），再求出f（1），然后直接由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）直接由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中求得的原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，把m分類得到函數(shù)f（x）在[m，2m]上的單調(diào)性，由單調(diào)性求得f（x）在[m，2m]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

lnx-x

x

=

lnx

x

-1．
∴f′(x)=

1-lnx

x2

，則f′（1）=1．
又f（1）=-1，
∴f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+1=1×（x-1）．
整理得：x-y-2=0；
（Ⅱ）f′(x)=

1-lnx

x2

（x＞0），
由f′（x）＞0，得0＜x＜e；
由f′（x）＜0，得x＞e．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞）；單調(diào)增區(qū)間為（0，e）．
（Ⅲ）當(dāng)2m≤e，即m≤

e

2

時，函數(shù)f（x）在[m，2m]上為增函數(shù)，f(x)max=f(2m)=

ln2m

2m

-1；
當(dāng)m≥e時，函數(shù)f（x）在[m，2m]上為減函數(shù)，f(x)max=f(m)=

lnm

m

-1；
當(dāng)

e

2

＜m＜e時，函數(shù)f（x）在[m，2m]上的最大值為f(x)max=f(e)=

1

e

-1．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．