Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（a＞0，b＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）真數(shù)要大于0；（2）用奇偶性定義討論；（3）先轉(zhuǎn)化函數(shù)再用單調(diào)性定義討論．
解答：解：（1）使f（x）有意義，則＞0，
∵b＞0，∴x＞b或x＜-b，
∴f（x）的定義域為{x|x＞b或x＜-b}．
（2）由（1）知f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，
∵f（-x）=log_a=log_a=log_a^-1=-log_a=-f（x）．
∴f（x）為奇函數(shù)．
（3）設(shè)u===1+，
設(shè)x₁＞x₂，則u₁-u₂=1+-=，
當(dāng)x₁＞x₂＞b時，＜0，即u₁＜u₂，
此時，u為減函數(shù)，同理-b＞x₁＞x₂時，u也為減函數(shù)．
∴當(dāng)a＞1時，f（x）=log_a在（-∞，-b）上為減函數(shù)，在（b，+∞）上也為減函數(shù)．
當(dāng)0＜a＜1時，
f（x）=log_a在（-∞，-b）上為增函數(shù)，在（b，+∞）上也為增函數(shù)．
點評：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性和奇偶性，是函數(shù)中的�？碱}型，屬中高檔題．