Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，AA₁=AB=2，∠A₁AB=60°，AC=BC=

2

．O，E分別是AB，CC₁中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）求三棱錐B-A₁AC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明平面OEF∥平面A₁C₁B，可得OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）證明A₁O⊥平面ABC，可得A₁O是A₁到平面ABC的距離，即可求三棱錐B-A₁AC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取AA₁的中點(diǎn)，連接OF，EF，
∵O，E分別是AB，CC₁中點(diǎn)，
∴OF∥AB，
∵OF?平面A₁C₁B，AB?平面A₁C₁B，
∴OF∥平面A₁C₁B，
∵EF∥A₁C₁，
EF?平面A₁C₁B，AC?平面A₁C₁B，
∴EF∥平面A₁C₁B，
∵OF∩EF=F，
∴平面OEF∥平面A₁C₁B，
∴OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）解：∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，A₁O⊥平面ABC，
∴A₁O⊥平面ABC，
∴A₁O是A₁到平面ABC的距離，
∵AC=BC=

2

，AB=2，
∴三棱錐B-A₁AC的體積等于VA1-ABC=

1

3

•

1

2

•(

2

)2•

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面平行、線面平行，考查三棱錐B-A₁AC的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．