Question

（2010•寶山區(qū)模擬）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)K是橢圓上的動點(diǎn)，求 線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）求定點(diǎn)P（m，0）（m＞0）到橢圓C上點(diǎn)的距離的最小值d（m），并求當(dāng)最小值為1時(shí)m值．

Answer 1

分析：（1）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，再由橢圓的定義知2a=4，從而求出橢圓的方程．
（2）設(shè)F₁K的中點(diǎn)Q（x，y），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)K（2x+1，2y），把K的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡即得線段KF1的中點(diǎn)Q的軌跡方程．
（3）利用參數(shù)表示出距離，再利用配方法求最小值．

解答：解：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2，又點(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上，因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1 得b²=3，于是c²=1，所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

= 1，
（2）設(shè)橢圓C上的動點(diǎn)為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x，y）滿足：x=

-1+x1

2

，y=

y1

2

，即x₁=2x+1，y₁=2y．因此

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1．即 (x+

1

2

)2+

4y2

3

=1為所求的軌跡方程
（3）設(shè)P（2cosθ，

3

sinθ），則|AP|²=（2cosθ-m）²+（

3

sinθ）²=（cosθ-2m）²-3m²+3
∵cosθ∈[-1，1]，∴①若0＜m＜

1

2

時(shí)，d(m)=

-3m2+3

；②m≥

1

2

時(shí)，d(m)=

(2-m)2

當(dāng)d（m）=1時(shí)，m=1，3．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)、線段的中點(diǎn)公式，以及用代入法求軌跡方程．