Question

已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AC₁與平面A₁BD，CB₁D₁交于E，F(xiàn)兩點．給出以下命題，其中真命題有

 

（寫出所有正確命題的序號）
①點E，F(xiàn)為線段AC₁的兩個三等分點；
②

ED 1

=-

2

3

DC

+

1

3

AD

+

1

3

AA 1

；
③設(shè)A₁D₁中點為M，CD的中點為N，則直線MN與面A₁DB有一個交點；
④E為△A₁BD的內(nèi)心；
⑤若∠A₁AD=∠A₁AB=∠BAD=60°，且AA₁=AB=AD=1，則三棱錐A₁-ABD為正三棱錐，且|AC₁|=

6

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：結(jié)合平行六面體的性質(zhì)，可判斷①，運用空間向量的加減運算，解決②，注意重心的性質(zhì)的運用，④可由①的分析得到；③通過面面平行的判定和性質(zhì)可得；⑤可由向量的模求得．

解答： 解：①連接A₁C₁，AC，A₁C，A₁E，由平行六面體的性質(zhì)得：四邊形A₁ACC₁是平行四邊形，對角線互相平分且交于點O，延長A₁E交AC于H，且H為AC的中點，則E為三角形A₁AC的重心，有AE=2OE，同理C₁F=2OF，
所以點E，F(xiàn)為線段AC₁的兩個三等分點，故①對；
②∵

ED1

=

A1D1

-

A1E

=

AD

-

2

3

A1H

=

AD

-

1

3

(

A1A

+

A1C

)=

AD

-

2

3

A1A

-

1

3

A1B1

-

1

3

AD

=

2

3

AD

+

2

3

AA1

-

1

3

DC

，故②錯；
③再取A₁B₁的中點K，連接KM，KN，由面面平行的判定定理可得：面KMN∥面A₁BD，所以直線MN∥面A₁BD，
所以直線MN與面A₁DB沒有交點，故③錯；
④由①得A₁E=2EH，所以E為△A₁BD的重心，故④錯；
⑤因為∠A₁AD=∠A₁AB=∠BAD=60°，且AA₁=AB=AD=1，所以三角形A₁BD為等邊三角形，即
三棱錐A₁-ABD為正三棱錐，∵

AC1

=

AA1

+

AB

+

AD

，|

AC1

|=

( AA1 + AB + AD )2

=

1+1+1+2× 1 2 +2× 1 2 +2× 1 2

=

6

，故⑤對．
故答案為：①⑤

點評：本題考查平行六面體的性質(zhì)，空間向量的加法、減法和數(shù)量積、模的概念，考查運算能力，是一道中檔題．