Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a-e x

1+e x

（a∈R）．
（1）若f（x）為R上的奇函數(shù)，求a的值；
（2）若f（x）在R上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）為R上的奇函數(shù)，得f（0）=0，求出a的值，再驗(yàn)證f（x）是否為R上的奇函數(shù)即可；
（2）利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)f（x），由基本初等函數(shù)的單調(diào)性，求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

a-e x

1+e x

（a∈R），
∴當(dāng)f（x）為R上的奇函數(shù)時(shí)，f（0）=0，
即

a-1

1+1

=0，
解得a=1，
此時(shí)f（x）=

1-ex

1+ex

是R上的奇函數(shù)，
∴a的值是1；
（2）∵f（x）=

a-ex

1+ex

=

(a+1)-(1+ex)

1+ex

=

a+1

1+ex

-1，
當(dāng)f（x）在R上為減函數(shù)時(shí)，a+1＞0，
解得a＞-1；
∴a的取值范圍是a＞-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)性題目．