【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，政府欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園，園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG（圖中陰影部分）．以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖所示）．景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型．園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上，PO＝百米．

（1）若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閑長廊OM，求OM的最短長度；

（2）若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q，試確定Q的位置，使通道直線段PQ最短．

【答案】(1) 的最小值為百米．

(2) 當(dāng)點在線段上且距離軸百米，通道PQ最短．

【解析】

（1）設(shè)，，求出 ，再利用基本不等式求OM的最短長度.(2) 當(dāng)直線與邊界曲線相切時，最短．設(shè)切點為，求出切點為，切線方程為，令，得，即點在線段上且距離軸百米．

（1）設(shè)，，

則 ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．

所以的最小值為百米．

（2）當(dāng)直線與邊界曲線相切時，最短．

設(shè)切點為，由得，

所以切線的方程為．

因為在軸正半軸上，且PO=，所以點坐標(biāo)為．

因為切線過點，所以，

整理得，解得，或．

因為，所以，此時切點為，切線方程為．

令，得，即點在線段上且距離軸百米．

答：當(dāng)點在線段上且距離軸百米，通道PQ最短．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)以原點為極點x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為：，直線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）寫出曲線的極坐標(biāo)方程，并指出它是何種曲線；

（Ⅱ）設(shè)與曲線交于兩點，與曲線交于兩點，求四邊形面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試在每一次報名中，每個學(xué)員有次參加科目二考試的機(jī)會（這次考試機(jī)會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進(jìn)入下一科目考試，或次都沒有通過，則需要重新報名），其中前次參加科目二考試免費(fèi)，若前次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交元的補(bǔ)考費(fèi)．某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計，得到如下結(jié)論：男性學(xué)員參加科目二考試，每次通過的概率均為，女性學(xué)員參加科目二考試，每次通過的概率均為．現(xiàn)有一對夫妻同時報名參加駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機(jī)會為止.

（1）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；

（2）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）已知拋物線和圓的公共弦過拋物線的焦點，且弦長為4.

(1)求拋物線和圓的方程；

(2)過點的直線與拋物線相交于兩點拋物線在點處的切線與軸的交點為，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠BCD＝60°，點E是BC邊

的中點，AC，DE交于點O，，且PO⊥平面ABCD.

（1）求證：PD⊥BC；

（2）在線段AP上找一點F，使得BF∥平面PDE，并求此時四面體PDEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C：的離心率為，并且橢圓經(jīng)過點P(1，)，直線l的方程為x＝4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知橢圓內(nèi)一點E(1，0)，過點E作一條斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點，交直線l于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數(shù)，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和，對任意，都有（為常數(shù)）．

（1）當(dāng)時，求；

（2）當(dāng)時，

（�。┣笞C：數(shù)列是等差數(shù)列；

（ⅱ）若對任意，必存在使得，已知，且，求數(shù)列的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1ABAC2，AB⊥AC，M是棱BC的中點點P在線段A1B上．

（1）若P是線段A1B的中點，求直線MP與直線AC所成角的大��；

（2）若是的中點，直線與平面所成角的正弦值為，求線段BP的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知與分別是邊長為1與2的正三角形，，四邊形為直角梯形，且，，點為的重心，為中點，平面，為線段上靠近點的三等分點．

（1）求證：平面；

（2）若二面角的余弦值為，試求異面直線與所成角的余弦值．

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