Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經過點P(1，

2

2

)，且兩焦點與短軸的一個端點構成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）動直線l：mx+ny+

1

3

n=0(m，n∈R)交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T．若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義及等腰直角三角形的性質可得a=

2

b，在把點P的坐標代人橢圓方程即可得出b²，進而得到橢圓的方程；
（2）先利用特殊位置的兩個圓找出點T（0，1），在證明點T符合條件即可．對直線l的斜率分類討論，當斜率存在時，把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數的關系及向量垂直與數量積的關系即可得出．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，
∴b=c，∴a=

2

b，
∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
又∵橢圓經過點P(1，

2

2

)，代入得

1

2b2

+

( 2 2 )2

b2

=1，解得b=1，
∴a=

2

，
故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由動直線mx+n(y+

1

3

)=0，得到動直線l過定點（0，-

1

3

）．                             
當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2．
當l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．
由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

即兩圓相切于點（0，1），
因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）．
事實上，點T（0，1）就是所求的點．                                      
證明如下：
當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）
若直線l不垂直于x軸，可設直線L：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

消去y得：(18k2+9)x2-12kx-16=0
記點A（x₁，y₁）、B(x2，y2)，則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

又因為

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x 2，y2-1)，
所以

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0
∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）
∴在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件．

點評：本題綜合考查了橢圓的定義及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到一元二次方程得根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系．注意分類討論的思想方法的運用、特殊位置探究再證明．本題需要較強的推理能力和計算能力．