在△ABC中，設
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，
（1）求證：△ABC為等腰三角形；
（2）若|
BA
+
BC
|=2，且B∈[
π
3
，
2π
3
]，求
BA
•
BC
的取值范圍．
分析：（1）由
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，知
CA
•(
BC
-
AB
)=0，由
AB
+
BC
+
CA
=
0
，知
CA
=-(
AB
+
BC
)，所以
AB
2-
BC
2 =
0
，由此能夠證明△ABC為等腰三角形．
（2）由B∈[
π
3
，
2π
3
]，知cosB∈[-
1
2
，
1
2
]，設|
AB
| =|
BC
| =a，由|
BA
+
BC
|  =2，知a2+a2+2a2cosB=4，所以a2=
2
1+cosB
，由此能夠求出
BA
•
BC
的取值范圍．
解答：解：（1）∵
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，
∴
CA
•(
BC
-
AB
)=0，
∵
AB
+
BC
+
CA
=
0
，（3分）
∴
CA
=-(
AB
+
BC
)，
∴-(
AB
+
BC
)•(
BC
-
AB
)=
0
，
∴
AB
2-
BC
2 =
0
，
所以|
AB
|2=|
BC
|2，
即|AB|=|BC|，
故△ABC為等腰三角形．（6分）
（2）∵B∈[
π
3
，
2π
3
]，
∴cosB∈[-
1
2
，
1
2
]，
設|
AB
| =|
BC
| =a，
∵|
BA
+
BC
|  =2，
∴|
BA
+
BC
|2=4，（9分）
∴a2+a2+2a2cosB=4，
∴a2=
2
1+cosB
，
∴
BA
•
BC
=|
BA
| •|
BC
| cosB=a2，
cosB=
2cosB
1+cosB
=2-
2
1+cosB
∈[-2，
2
3
]（12分）
點評：本題考查平面向量的綜合運用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設BC，CA，AB的長度分別為a，b，c，證明：a2=b2+c2-2bccosA．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，設
BC
=
a
，
CA
=
b
，則
AB
=
-（
a
+
b
）
-（
a
+
b
）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，設
BC
=
a
，
AC
=
b
，且|
a
|=2，|
b
|=3，
a
•
b
=3，則∠C的大小為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆陜西省高一下學期期中考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在△ABC中，設BC,CA, AB的長度分別為a，b，c，證明：a2=b2+c2-2bccosA

 

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