Question

13．已知x∈（0，$\frac{π}{2}$），則函數f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域為（　�。�

• A． [1，2）
• B． [$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{2}$]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 化簡函數f（x），用換元法令sinx+cosx=t，表示出sinxcosx，t∈（1，$\sqrt{2}$]；把f（x）化為f（t），利用導數判斷單調性，求出它的最值，即可得出f（x）的值域．

解答 解：x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，
函數f（x）=sinxtanx+cosxcotx
=$\frac{{sin}^{2}x}{cosx}$+$\frac{{cos}^{2}x}{sinx}$
=$\frac{{sin}^{3}x{+cos}^{3}x}{sinxcosx}$
=$\frac{（sinx+cosx）{（sin}^{2}x-sinxcosx{+cos}^{2}x）}{sinxcosx}$
=$\frac{（sinx+cosx）（1-sinxcosx）}{sinxcosx}$；
令sinx+cosx=t，
則t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$；
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，t∈（1，$\sqrt{2}$]；
∴f（x）可化為f（t）=$\frac{t（1-\frac{{t}^{2}-1}{2}）}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{3t{-t}^{3}}{{t}^{2}-1}$，
∴f′（t）=$\frac{{-t}^{4}-3}{{{（t}^{2}-1）}^{2}}$＜0，
∴t∈（1，$\sqrt{2}$]時，函數f（t）是單調減函數；
當t=$\sqrt{2}$時，函數f（t）取得最小值f（$\sqrt{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}{-（\sqrt{2}）}^{3}}{{（\sqrt{2}）}^{2}-1}$=$\sqrt{2}$，且無最大值；
∴函數f（x）的值域是[$\sqrt{2}$，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數的化簡與求值域的應用問題，也考查了換元法以及用導數判斷函數的單調性，求最值的應用問題，是難題．