Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，且三角形PAD為等腰△，PA=PD．
（Ⅰ）求證AD⊥PB；
（Ⅱ）線段AP上是否存在點M，使得MD∥平面PBC？
并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意取AD的中點G，連接PG、GB、BD，因△PAD是等腰直角三角形，所以PG⊥AD，再由AB=AD，且∠DAB=60°得BG⊥AD，證出AD⊥平面PGB，即AD⊥PB；
（2）考慮M為AP的中點，由題意取PB的中點F，連接MF、CF，由中位線和題意證出CDMF是平行四邊形，得到DM∥CF，由線面平行的判定定理得DM∥平面PCB．
解答：解：（1）取AD的中點G，連接PG、GB、BD
∵PA=PD，
∴PG⊥AD．（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，又PG∩BG=G
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．（6分）
（2）當M為PA的中點時，取PB的中點F，連接MF、CF，
∵M、F分別為PA、PB的中點，
∴MF∥AB，且．
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．（10分）
∴四邊形CDMF是平行四邊形．
∴DM∥CF．
∵CF?平面PCB，DM?平面PCB
∴DM∥平面PCB．（12分）

點評：本題主要考查了線面垂直和平行的判定定理的應用，主要用了中位線和等腰三角形的中線證明線線平行和垂直．