已知雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2,點P(x1,y1),Q(x1,-y1)是雙曲線上不同的兩個動點.
(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程;
(2)若過點H(0,h)(h>1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點,且l1⊥l2,求h的值.
【答案】分析:(1)先確定直線A1P與A2Q的方程;再聯(lián)立方程組解之(相乘處理);最后利用點P(x1,y1)在雙曲線上,消去參數(shù)x1、y1(整體消元)求出軌跡E的方程;
(2)先由l1⊥l2設(shè)出兩直線方程;再分別與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)只有一個交點(即△=0)得出k、h的兩個方程;最后解出h的值.
解答:解:(1)由A1,A2為雙曲線的左右頂點知,
,
兩式相乘得,
因為點P(x1,y1)在雙曲線上,所以,即,
所以,即
故直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程為.(x≠,x≠0)
(2)設(shè)l1:y=kx+h(k>0),則由l1⊥l2知,
將l1:y=kx+h代入
即(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,
若l1與橢圓相切,則△=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,即1+2k2=h2;
同理若l2與橢圓相切,則
由l1與l2與軌跡E都只有一個交點包含以下四種情況:
[1]直線l1與l2都與橢圓相切,即1+2k2=h2,且,消去h2,即k2=1,
從而h2=1+2k2=3,即;
[2]直線l1過點,而l2與橢圓相切,此時,,解得
[3]直線l2過點,而l1與橢圓相切,此時,1+2k2=h2,解得;
[4]直線l1過點,而直線l2過點,此時,,∴
綜上所述,h的值為
點評:本題綜合考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及點的軌跡方程求法;同時考查方程思想、運算能力等.
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(本小題滿分14分)已知雙曲線的左、右頂點分別為,點,是雙曲線上不同的兩個動點.

(1)求直線交點的軌跡E的方程

(2若過點的兩條直線與軌跡E都只有一個交點,且,求的值.

 

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(本小題滿分分)

已知雙曲線的左、   右頂點分別為,動直線與圓相切,且與雙曲線左、右兩支的交點分別為.

(Ⅰ)求的取值范圍,并求的最小值;

(Ⅱ)記直線的斜率為,直線的斜率為,那么,是定值嗎?并證明

 

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已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B,雙曲線在第一象限的圖象上有一點P,,則

A、        B、

C、         D、

 

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(本小題滿分12分)已知雙曲線的左、右頂點分別為,點,是雙曲線上不同的兩個動點.

(1)求直線交點的軌跡E的方程

(2)若過點H(0, h)(h>1)的兩條直線與軌跡E都只有一個公共點,且,求的值.

 

 

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已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B,雙曲線在第一象限的圖象上有一點P,,則                      (  )

A.      B.

C.    D.

 

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