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(本小題滿分12分)
設數列的各項都為正數,其前項和為,已知對任意的等比中項.
(Ⅰ)證明數列為等差數列,并求數列的通項公式;
(Ⅱ)證明;
(Ⅲ)設集合,且,若存在,使對滿足的一切正整數,不等式恒成立,求這樣的正整數共有多少個?
解:(Ⅰ)由已知,,且. ………………………1分
時,,解得.   ……………………………2分
時,有
于是,
于是,即
因為,所以
故數列是首項為2,公差為2的等差數列,且.……………………4分
(Ⅱ)因為,則,…………………………………5分
所以…7分
(Ⅲ)由,得,所以. …… 9分
由題設,,,…,,,,…,
因為∈M,所以,,…,均滿足條件.…………………10分
且這些數組成首項為,公差為的等差數列.                                                                     
設這個等差數列共有項,則,解得
故集合M中滿足條件的正整數共有450個.…………………………12分
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題


設數列是以2為首項,1為公差的等差數列,是以1為首項,2為公比的等比數列,則  (  )
A.1033B.1034 C.2057D.2058

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知數列滿足,數列的前項和為
(1)求數列的通項; (2)求;
(3)設,求證:。

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知數列的前n項和,則 (    )
A.=B.=C.=D.=

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分8分,第3小題滿分6分.
已知負數和正數,且對任意的正整數n,當≥0時, 有[, ]=
[, ];當<0時, 有[, ]= [, ].
(1)求證數列{}是等比數列;
(2)若,求證;
(3)是否存在,使得數列為常數數列?請說明理由

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分13分)
已知數列的前項和為,滿足.
(Ⅰ)證明:數列為等比數列,并求出
(Ⅱ)設,求的最大項.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知數列的前項和,則=(     )
A.37B.27C.64D.91

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知正項等差數列的前20項的和為100,那么的最大值為(   )
A.25B.50C.100D.不存在

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

設等差數列的前n項和為,若,,則當取最小值時,n等于      

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