Question

【題目】已知函數(shù)，不等式對(duì)恒成立.

（1）求函數(shù)的極值和實(shí)數(shù)的值；

（2）已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），不存在極小值；。（2）。

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)對(duì)求導(dǎo)，由單調(diào)區(qū)間求得函數(shù)的極值. 對(duì)不等式兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，化簡(jiǎn)為的形式，根據(jù)前面所求的單調(diào)區(qū)間求得的值.（2）將表達(dá)式代入不等式左邊，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)分成，兩類(lèi)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最小值為負(fù)數(shù)，求得的取值范圍.

（1），則時(shí)，，時(shí)，，

故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故，不存在極小值.

顯然，不合題意.

當(dāng)時(shí)，由得，

則有，

故依題意知對(duì)恒成立.

當(dāng)時(shí)，取得最大值，故.

當(dāng)時(shí)，取得最大值，故，故.

綜上得.

（2）設(shè)，

則.

①當(dāng)時(shí)，，，，

所以不存在使得成立.故不合題意.

②當(dāng)時(shí)， ，

因為，所以，，所以在恒成立，

故在上單調(diào)遞減， ，

則依題意有，

解之得，

故的取值范圍為.