Question

已知函數(shù)f（x）=|log_a|x-1||（a＞0，a≠1），若x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

=（　　）

• A、2
• B、4
• C、8
• D、隨a值變化

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，由已知條件推導(dǎo)出x₁+x₄=2，x₂+x₃+=2．再由log_ax₁=-log_ax₂，log_ax₃=-log_ax₄，從而求得

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

的值．

解答：解：設(shè)g（x）=|log_a|x||，則g（x）為偶函數(shù)，
圖象關(guān)于y軸對稱，
而函數(shù)f（x）=|log_a|x-1||是把g（x）的圖象向右平移
一個單位得到的，
故g（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
∵x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），
∴x₁+x₄=2，x₂+x₃=2．
再由函數(shù)f（x）的圖象特征可得，log_ax₁=-log_ax₂，
log_ax₃=-log_ax₄，
∴（x₁-1）（x₂-1）=1，得x₁x₂=x₁+x₂，
得

1

x1

+

1

x2

=1，同理可得

1

x3

+

1

x4

=1，
∴

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

=2．
故選：A．

點評：本題考查函數(shù)零點和方程根的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．