Question

【題目】已知橢圓：過點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點(diǎn).

（1）證明：當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為.

（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）將點(diǎn)代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時(shí)，進(jìn)而證得橢圓的離心率為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，求得到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用，則列方程，求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進(jìn)而求得定圓的方程.

（1）證明：∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)橢圓的離心率.

（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性，設(shè)，.

∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為.

由，得，

.

設(shè)，，則，.

∵，∴，

∴，

∴，即，

∴到直線的距離.

綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與直線總相切.