Question

某地一天的溫度（單位：°C）隨時間t（單位：小時）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f（t）=24-4sinωt-4

3

cosωt，t∈[0，24]，且早上8時的溫度為24°C，ω∈(0，

π

8

)．
（1）求函數(shù)的解析式，并判斷這一天的最高溫度是多少？出現(xiàn)在何時？
（2）當(dāng)?shù)赜幸煌ㄏ鼱I業(yè)的超市，我節(jié)省開支，跪在在環(huán)境溫度超過28°C時，開啟中央空調(diào)降溫，否則關(guān)閉中央空調(diào)，問中央空調(diào)應(yīng)在何時開啟？何時關(guān)閉？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，利用已知條件求出參數(shù)值，即可得到解析式．
（2）利用函數(shù)的解析式直接求出時間t，即可得到所求結(jié)果．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）依題意f(t)=24-4sinωt-4

3

cosωt=24-8sin(ωt+

π

3

)…（2分）
因為早上8時的溫度為24°C，即f（8）=24，
sin(8ω+

π

3

)=0⇒8ω+

π

3

=kπ⇒ω=

1

8

(k-

1

3

)π (k∈Z)…（3分）
∵ω∈(0，

π

8

)，故取k=1，ω=

π

12

，
所求函數(shù)解析式為f(t)=24-8sin(

π

12

t+

π

3

)， t∈(0，24]．…（5分）
由sin(

π

12

t+

π

3

)=-1，

π

12

t+

π

3

∈(

π

3

，

7π

3

)，可知

π

12

t+

π

3

=

3π

2

⇒t=14，
即這一天在14時也就是下午2時出現(xiàn)最高溫度，最高溫度是32°C．…（7分）
（2）依題意：令24-8sin(

π

12

t+

π

3

)=28，可得sin(

π

12

t+

π

3

)=-

1

2

…（9分）
∵

π

12

t+

π

3

∈(

π

3

，

7π

3

)，∴

π

12

t+

π

3

=

7π

6

或

π

12

t+

π

3

=

11π

6

，
即t=10或t=18，…（11分）
故中央空調(diào)應(yīng)在上午10時開啟，下午18時（即下午6時）關(guān)閉…（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，解析式的求法，考查計算能力．