Question

（2012•山西模擬）已知關于x的方程ax²+2x+1=0至少有一負根的必要條件是a≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：經檢驗a=0 或a＜0時，滿足條件．當a＞0時，由根與系數的關系可得方程若有跟，則兩根都是負根，
而方程有根的條件是△≥0，解得 1≥a＞0，綜合得方程至少有一負根的必要條件是a≤1．而已知方程至少有一負根的必要條件是a≤m，故m≥1．

解答：解：當a=0時，關于x的方程為2x+1=0，解得x=-

1

2

，滿足條件．
當a＜0時，判別式△=4-4a＞0，x₁x₂=

1

a

＜0，此時方程有且僅有一個負根，滿足條件．
當a＞0時，∵

x1+x2= - 2 a ＜0 x1x2=  1 a ＞0

，故方程若有跟，則兩根都是負根．
而方程有根的條件是△=4-4a≥0，解得 1≥a＞0．
綜上可得，方程至少有一負根的必要條件是a≤1．
而已知方程至少有一負根的必要條件是a≤m，故m≥1，即 m的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．