Question

如果關于x的方程ax+

1

x2

=3在區(qū)間（0，+∞）上有且僅有一個解，那么實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），故我們可將關于x的方程 ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數(shù)解，轉化為方程
a=-

1

x3

+

3

x

有且僅有一個正實數(shù)解，討論出函數(shù)的單調性后，同一坐標系內作出圖象，即可得到本題的答案．

解答：解：由函數(shù)解析式可得：x≠0，如果關于x的方程 ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數(shù)解，
即方程ax³-3x²+1=0有且僅有一個正實數(shù)解，
即方程a=-

1

x3

+

3

x

有且僅有一個正實數(shù)解
討論函數(shù)y=-

1

x3

+

3

x

的單調性，得（0，1）上函數(shù)為增函數(shù)，（1，+∞）上函數(shù)為減函數(shù)且函數(shù)值大于0
作出函數(shù)y=-

1

x3

+

3

x

的圖象與直線y=a，如圖所示

根據(jù)圖象可得：當a≤0或a=2時在（0，+∞）上有且僅有一個交點．
故答案為：a≤0或a=2

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)函數(shù)的定義域，將分式方程根的個數(shù)問題轉化為整式方程根的個數(shù)問題是解答本題的關鍵．