Question

若直線y=x+b與曲線x=

1-y2

恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：曲線x=

1-y2

 表示以原點(diǎn)O（0，0）為圓心、半徑等于1的半圓，數(shù)形結(jié)合求得當(dāng)直線y=x+b與曲線x=

1-y2

恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：曲線x=

1-y2

 即 x²+y²=1 （x≥0），表示以原點(diǎn)O（0，0）為圓心、半徑等于1的半圓（位于y軸及y軸右側(cè)的部分），
如圖：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1）時(shí)，求得b=-1；
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，1）時(shí)，求得b=1；
當(dāng)直線和圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑可得

|0-0+b|

2

=1，求得b=

2

（舍去），或 b=-

2

，
數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線y=x+b與曲線x=

1-y2

恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-1，1]∪{-

2

}，
故答案為：（-1，1]∪{-

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．