Question

（2012•溫州一模）若不等式-1＜ax²+bx+c＜1的解集為（-1，3），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

-

1

2

＜a＜

1

2

．

Answer 1

分析：分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，b≠0，適當(dāng)選取b，c可以滿足題意；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式-1＜ax²+bx+c＜1對應(yīng)的二次函數(shù)的對稱軸為x=1，開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式-1＜ax²+bx+c＜1對應(yīng)的二次函數(shù)的對稱軸為x=1，開口向下，利用不等式的解集，即可求得結(jié)論．

解答：解：由題意，分類討論可得：
當(dāng)a=0時(shí)，b≠0，不等式的解集（-1，3），適當(dāng)選取b，c可以滿足題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式-1＜ax²+bx+c＜1對應(yīng)的二次函數(shù)的對稱軸為x=1，開口向上，
所以x=-1時(shí)，a-b+c=1，x=3時(shí)，9a+3b+c=1，
最小值為x=1時(shí)，a+b+c＞-1，聯(lián)立解這個不等式組得：a＜

1

2

，∴0＜a＜

1

2

；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式-1＜ax²+bx+c＜1對應(yīng)的二次函數(shù)的對稱軸為x=1，開口向下，
所以x=-1時(shí)，a-b+c=-1，x=3時(shí)，9a+3b+c=-1，
最大值為x=1時(shí)，a+b+c＜1，聯(lián)立解這個不等式組得：a＞-

1

2

，∴-

1

2

＜a＜0
綜上知，-

1

2

＜a＜

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查不等式的綜合，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．