Question

（2012•溫州一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，且BD：DC：AD=2：3：6．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）設(shè)E為AB的中點，已知△ABC的面積為15，求CE的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在直角三角形ABD與ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)題意求出tan∠BAD與tan∠CAD的值，由∠BAC=∠BAD+∠CAD，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算求出tan∠BAC的值，由∠BAC為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出∠BAC的度數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)比例設(shè)BD=2t，得到DC=3t，AD=6t，由三角形的面積等于BC乘以AD的一半求出t的值，得到BD，DC與AD的長，由E為AB中點，求出AE的長，在三角形ACE中，利用余弦定理即可求出CE的長．

解答：解：（I）由已知得tan∠BAD=

1

3

，tan∠CAD=

1

2

，
∴tan∠BAC=tan（∠BAD+∠CAD）=

1 3 + 1 2

1- 1 3 × 1 2

=1，
又∠BAC∈（0，π），
∴∠BAC=

π

4

；
（II）設(shè)BD=2t（t＞0），則DC=3t，AD=6t，BC=BD+DC=5t，
由已知得：15t²=15，解得：t=1，
∴BD=2，DC=3，AD=6，
則AE=

AB

2

=

10

，AC=3

5

，
由余弦定理得CE²=AE²+AC²-2AE•AC•cos∠BAC=10+45-30=25，
則CE=5．

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．