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如圖所示的三棱錐A-BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2，∠BAC=120°，若點P為△ABC內的動點滿足直線DP與平面ABC所成角的正切值為2，則點P在△ABC內所成的軌跡的長度為              
。

試題分析：因為∠BAD=90°，所以AD⊥AB,又AD⊥BC，且ABBC=B，所以AD⊥平面ABC。
在平面ABC內，取點P，連PA，則是DP與平面ABC所成角。
又因為AD=4，所以直線DP與平面ABC所成角的正切值為2，須AP=2，即點P在△ABC內所成的軌跡是以A為圓心，半徑為2 的圓的一部分。
而∠BAC=120°=，故點P在△ABC內所成的軌跡的長度為=。
點評：典型題，綜合性較強，考查知識全面，可謂之是“證算并重題”，較好地考查了數形結合思想及學生的邏輯推理能力、計算能力。解答本題的關鍵是認識到“點P在△ABC內所成的軌跡是以A為圓心，半徑為2 的圓的一部分。”
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知正三棱錐的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內任取一點，使得的概率是（　 ）
A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

(本題滿分12分)
如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，BAD＝90°，PA底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC＝2，M、N分別為PC、PB的中點．

(Ⅰ)求證：PB平面ADMN；
(Ⅱ)求四棱錐P-ADMN的體積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在如圖所示的四棱錐中，已知 PA⊥平面ABCD， ， ，，
為的中點．

（1）求證：MC∥平面PAD；
（2）求直線MC與平面PAC所成角的余弦值；
（3）求二面角的平面角的正切值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）
如圖1，在等腰梯形中，，，，為上一點， ，且．將梯形沿折成直二面角，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）設點關于點的對稱點為，點在所在平面內，且直線與平面所成的角為，試求出點到點的最短距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

下列結論中正確的是(　　)
A．平行于平面內兩條直線的平面，一定平行于這個平面
B．一條直線平行于一個平面內的無數條直線，則這條直線與該平面平行
C．兩個平面分別與第三個平面相交，若交線平行則兩平面平行
D．在兩個平行平面中，一平面內的一條直線必平行于另一個平面

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若α、β是兩個不同的平面，m、n是兩條不同直線，則下列命題不正確的是
A．α∥β，m⊥α，則m⊥β
B．m∥n，m⊥α，則n⊥α
C． n∥α，n⊥β，則α⊥β
D．αβ=m，n與α、β所成的角相等，則m⊥n

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題10分）三棱柱中,側棱底面，，，

（1）求異面直線與所成角的余弦值;
（2）求證：

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

(本題13分)
如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.分別是的中點.

(1) 求證：；
(2) 求證：.

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