【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書(shū)九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為“鱉臑”.在如圖所示的陽(yáng)馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點(diǎn)O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點(diǎn)D），交PC于N（異于點(diǎn)C）.

（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫(xiě)出它每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，是，，，，；（2）

【解析】

（1）根據(jù)是球的直徑，則，又平面， 得到，再由線(xiàn)面垂直的判定定理得到平面，，進(jìn)而得到，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理得到平面.

（2）以A為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，解得，得到，從而得到，然后求得平面的一個(gè)法向量，代入公式求解.

（1）因?yàn)?/span>是球的直徑，則，

又平面，

∴，.∴平面，

∴，∴平面.

根據(jù)證明可知，四面體是鱉臑.

它的每個(gè)面的直角分別是，，，.

（2）如圖，

以A為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

M為中點(diǎn)，從而.

所以，設(shè)，

則.

由，

得.

由得，即.

所以.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

由.

取，，，得到.

記與平面所成角為θ，

則.

所以直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.

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（2）過(guò)點(diǎn)，且斜率不為零的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線(xiàn)與的斜率之積為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)以及此常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A.B.

C.D.

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