Question

已知函數(shù)f(x)=2cosxcos(x-

π

6

)-

3

sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）把f（x）的圖象向右平移m個單位后，在[0，

π

2

]是增函數(shù)，當(dāng)|m|最小時，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角差的余弦公式與二倍角公式將f（x）=2cosxcos（x-

π

6

）-

3

sin²x+sinxcosx化為f（x）=2sin（2x+

π

3

）及可求其周期；
（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移m個單位后，得到g（x）=2sin（2x-2m+），可求其單調(diào)增區(qū)間為[-

5π

12

+m+kπ，

π

12

+m+kπ]，再結(jié)合g（x）在[0，

π

2

]是增函數(shù)，即可求得|m|最小值．

解答：解：（ I）f（x）=2cosxcos（x-

π

6

）-

3

sin²x+sinxcosx
=2cosx（cosxcos

π

6

+sinxsin

π

6

）-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

cos²x+sinxcosx-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=

3

cos2x+sin2x
=2sin（2x+

π

3

）…（4分）
∴T=

2π

2

=π…（6分）
（II）g（x）=2sin（2x-2m+

π

3

）…（8分）
由2kπ-

π

2

≤2x-2m+

π

3

≤2kπ+

π

2

得單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

12

+m+kπ，

π

12

+m+kπ]，
∵g（x）在[0，

π

2

]是增函數(shù)，
∴-

5π

12

+m+kπ=0，m=

5π

12

-kπ，…（10分）
∴當(dāng)|m|最小時，m=

5π

12

 …（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，綜合考察了兩角差的余弦公式與二倍角公式、輔助角公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，求最值問題等，熟練掌握三角函數(shù)公式與三角函數(shù)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，屬于難題．