【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)試探究函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點,若存在,請指出有幾個零點;若不存在,請說明理由;

(Ⅲ)若,且上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)當時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;當時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(2)見解析(3)

【解析】試題分析:(Ⅰ) 求出,分兩種種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(Ⅱ)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)圖象可得:當時,函數(shù)有兩個不同的零點;當時,函數(shù)有且僅有一個零點;當時,函數(shù)無零點;(Ⅲ)分兩種情況討論,當時,不合題意,當時,由(Ⅰ)知,函數(shù)單調(diào)遞增,則恒成立,

,從而可得結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ)由所以,

①當時,則,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增;

②當時, ,

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,

綜合①②的當時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;

時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)函數(shù)定義域為,

,

,

,

所以,

故函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以.

由(Ⅰ)知當時,對,有,

,

所以當趨向0時, 趨向,隨著的增長, 的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于的增長速度,而的增長速度則會越來越慢,故當趨向時, 趨向,得到函數(shù)的草圖如圖所示,

①當時,函數(shù)有兩個不同的零點;

②當時,函數(shù)有且僅有一個零點;

③當時,函數(shù)無零點.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知當時, ,故對,

先分析法證明: ,

要證,

只需證,

即證,

構(gòu)造函數(shù)),

所以,

故函數(shù)單調(diào)遞增, ,

成立,

①當時,由(Ⅰ)知,函數(shù)單調(diào)遞增,則恒成立,

②當時,由(Ⅰ)知,函數(shù)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

故當時, ,所以,則不滿足題意,

綜合①②得,滿足題意的實數(shù)的取值范圍.

練習冊系列答案
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年齡

不支持“延遲退休年齡政策”的人數(shù)

(1)由頻率分布直方圖,估計這人年齡的平均數(shù);

(2)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,據(jù)此表,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為以歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度存在差異?

45歲以下

45歲以上

總計

不支持

支持

總計

附:

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