Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+ax-(a+1)lnx在x=2處的切線與直線2x-y+10=0平行．
（1）求參變量a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的極值及取得極值時x的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導函數(shù)，利用函數(shù)在x=2處的切線與直線2x-y+10=0平行，可得f′（2）=2，即可求參變量a的值；
（2）求導函數(shù)，確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，即可求函數(shù)y=f（x）的極值及取得極值時x的值．

解答： 解：（1）由已知得直線2x-y+10=0的斜率是：2
∵f(x)=

1

2

x2+ax-(a+1)lnx，
∴f′（x）=x+a-

a+1

x

，
∴f′（2）=2+a-

a+1

2

=2，
∴a=1
（2）由（1）知，f(x)=

1

2

x2+x-2lnx（x＞0），
∴f′(x)=x+1-

2

x

，
令f′(x)=x+1-

2

x

=0，∴x=1，或x=-2（舍去）
∴x∈（0，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．
∴當x=1時，y=f（x）有極小值

3

2

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導是關(guān)鍵．