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【題目】已知數列滿足，，.

（1）若.

①求數列的通項公式；

②證明：對， .

（2）若，且對，有，證明：.

【答案】（1）①；②證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）①當時，，兩邊取倒數，再根據數列遞推關系，可得出數列是首項為2，公差為1的等差數列，即可求出數列的通項公式；

②由①知，利用裂項公式整理得出，則對，根據裂項相消法即可求出；

（2）當時，，則，由于，則，根據基本不等式得出，化簡整理有，最后再利用基本不等式，即可證明出.

解：（1）①當時，，

∵，∴，依此類推，

∴，∴，

∴數列是首項為2，公差為1的等差數列，

∴，即，

②證明：由①知，故對

，

∴

＝

＝，

（2）證明：當時，，

則，

∵，則，得，

∴

＝

＝，

∵與不能同時成立，所以上式“＝”不成立，

即對，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】棋盤上標有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調到第站或第站時，游戲結束.設棋子位于第站的概率為.

（1）當游戲開始時，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數之和的分布列與數學期望；

（2）證明：；

（3）求、的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校為了了解該校高三年級學生寒假在家自主學習的情況，隨機對該校300名高三學生寒假的每天學習時間（單位：h）進行統(tǒng)計，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖計算該校高三年級學生的平均每天學習時間（同一組中的數據用該組區(qū)間中點值代表）；

（Ⅱ）該校規(guī)定學習時間超過4h為合格，否則不合格．已知這300名學生中男生有140人，其中合格的有70人，請補全下表，根據表中數據，能否有99.9%的把握認為該校高三年級學生的性別與學習時長合格有關？

男生

女生

總計

不合格

合格

70

總計

140

160

300

參考公式：，其中．

參考附表：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（1）若，恒成立，求實數的最大值；

（2）在（1）的條件下，求證：函數在區(qū)間內存在唯一的極大值點，且．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】給定個不同的數、、、、，它的某一個排列的前項和為，該排列中滿足的的最大值為．記這個不同數的所有排列對應的之和為．

（1）若，求；

（2）若，.

①證明：對任意的排列，都不存在使得；

②求（用表示）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2018年全國數學奧賽試行改革：在高二一年中舉行5次全區(qū)競賽，學生如果其中2次成績達全區(qū)前20名即可進入省隊培訓，不用參加其余的競賽，而每個學生最多也只能參加5次競賽.規(guī)定：若前4次競賽成績都沒有達全區(qū)前20名，則第5次不能參加競賽.假設某學生每次成績達全區(qū)前20名的概率都是，每次競賽成績達全區(qū)前20名與否互相獨立.

（1）求該學生進入省隊的概率.

（2）如果該學生進入省隊或參加完5次競賽就結束，記該學生參加競賽的次數為，求的分布列及的數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的內接等邊三角形的面積為（其中為坐標原點）．

（1）試求拋物線的方程；

（2）已知點兩點在拋物線上，是以點為直角頂點的直角三角形．

①求證：直線恒過定點；

②過點作直線的垂線交于點，試求點的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下圖統(tǒng)計了截止到2019年年底中國電動汽車充電樁細分產品占比及保有量情況，關于這5次統(tǒng)計，下列說法正確的是（ ）

A.私人類電動汽車充電樁保有量增長率最高的年份是2018年

B.公共類電動汽車充電樁保有量的中位數是25.7萬臺

C.公共類電動汽車充電樁保有量的平均數為23.12萬臺

D.從2017年開始，我國私人類電動汽車充電樁占比均超過50%

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】圖1是矩形，，，M為的中點，將沿翻折，得到四棱錐，如圖2．

（Ⅰ）若點N為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）若．求點A到平面的距離．

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