Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值. 記的最小值為，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得的最大值；（2）首先求得，然后結(jié)合（1）分、求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最小值的函數(shù)解析式，再通過(guò)求導(dǎo)研究其的單調(diào)性，從而求得的值域.

試題解析：（1）f′(x)＝（x＞0），

當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x＝e時(shí)，f(x)取得最大值f(e)＝. …4分

（2）g′(x)＝lnx－ax＝x(－a)，由（1）及x∈(0，e]得：

①當(dāng)a＝時(shí)，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x＝e時(shí)，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－. …6分

②當(dāng)a∈[0，)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a，

所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，

當(dāng)x∈(0，t)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(t，e]時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)的最小值為g(t)＝h(a). …9分

令h(a)＝G(t)＝－t，

因?yàn)镚′(t)＝＜0，所以G(t)在[1，e)單調(diào)遞減，此時(shí)G(t)∈(－，－1].

綜上，h(a)∈[－，－1]. …12分