Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=

1

4

處的切線與直線4x+y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為x₀，證明f′（x₀）＜0．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用求導(dǎo)公式求出導(dǎo)數(shù)并化簡，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和題意可得f′（-

1

4

）=-4，解出a的值即可；
（Ⅱ）對導(dǎo)數(shù)因式分解后，再求出函數(shù)f（x）的定義域，然后在定義域內(nèi)分a≥0，a＜0兩種情況，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)出函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點的橫坐標(biāo)，利用分析法和根據(jù)（II）結(jié)論進行證明，根據(jù)要證明的結(jié)論和分析的過程，利用放縮法、換元法、構(gòu)造函數(shù)法解答，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（I）由題知f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx，
則f′(x)=

4ax2+(a+4)x+1

x

．
又∵f（x）的圖象在x=

1

4

處的切線與直線4x+y=0平行，
∴f′(

1

4

)=-4，即4a×

1

16

+

1

4

×（a+4）+1=-1，
解得  a=-6．…（4分）
（Ⅱ）由（I）得，f′(x)=

4ax2+(a+4)x+1

x

=

(4x+1)(ax+1)

x

，
由題知f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx的定義域為（0，+∞），
由x＞0，得

4x+1

x

＞0．
①當(dāng)a≥0時，對任意x＞0，f′（x）＞0，
∴此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當(dāng)a＜0時，令f′（x）=0，解得x=-

1

a

，
當(dāng)0＜x＜-

1

a

時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞-

1

a

時，f′（x）＜0，
此時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-

1

a

），單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）．
（Ⅲ）不妨設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，由（Ⅱ）知 a＜0，
于是要證f'（x）＜0成立，只需證：x0＞-

1

a

即

x1+x2

2

＞-

1

a

．
∵f(x1)=2ax12+(a+4)x1+lnx1=0，①
f(x2)=2ax22+(a+4)x2+lnx2=0，②
①-②得f(x1)-f(x2)=2ax12+(a+4)x1+lnx1-2ax22-(a+4)x2-lnx2=0，
即a(2x12-2x22+x1-x2)+4(x1-x2)+lnx1-lnx2=0，
∴-

1

a

=

2x12+x1-2x22-x2

4x1+lnx1-4x2-lnx2

，
故只需證

x1+x2

2

＞

2x12+x1-2x22-x2

4x1+lnx1-4x2-lnx2

，
即證明(x1+x2)[4(x1-x2)+(lnx1-lnx2)]＜4x12+2x1-4x22-2x2，
即證明lnx1-lnx2＜

2x1-2x2

x1+x2

，變形為ln

x1

x2

＜

2• x1 x2 -2

x1 x2 +1

，
設(shè)t=

x1

x2

（0＜t＜1），令g(t)=lnt-

2t-2

t+1

，
則g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

，
顯然當(dāng)t＞0時，g′（t）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時，g′（t）=0，
∴g（t）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
又∵g（1）=0，
∴當(dāng)t∈（0，1）時，g（t）＜0總成立，命題得證．…（14分）

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及不等式的證明問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法．考查了學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，綜合性較強，計算量大，難度較大，對能力要求較高．