精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，且 $數(shù)學公式$ ， $數(shù)學公式$ ，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中點分別為M，N，且m+4n=1，則 $數(shù)學公式$ 的最小值為________．

$\text{[math]}$
分析：由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．連接AM、AN，利用三角形中線的性質，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），進而得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1-m） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1-n） $\text{[math]}$ ．將此式平方，代入題中數(shù)據(jù)化簡可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1-m）²- $\text{[math]}$ （1-m）（1-n）+ $\text{[math]}$ （1-n）²，結合m+4n=1消去m，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ n²- $\text{[math]}$ n+ $\text{[math]}$ ，結合二次函數(shù)的性質可得當n= $\text{[math]}$ 時， $\text{[math]}$ 的最小值為 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的最小值為 $\text{[math]}$ ．
解答：

解：連接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos120°=- $\text{[math]}$
∵AM是△AEF的中線，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
同理，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
由此可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1-m） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1-n） $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =[ $\text{[math]}$ （1-m） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1-n） $\text{[math]}$ ]²= $\text{[math]}$ （1-m）²+ $\text{[math]}$ （1-m）（1-n） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1-n）²= $\text{[math]}$ （1-m）²- $\text{[math]}$ （1-m）（1-n）+ $\text{[math]}$ （1-n）²，
∵m+4n=1，可得1-m=4n
∴代入上式得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×（4n）²- $\text{[math]}$ ×4n（1-n）+ $\text{[math]}$ （1-n）²= $\text{[math]}$ n²- $\text{[math]}$ n+ $\text{[math]}$
∵m，n∈（0，1），
∴當n= $\text{[math]}$ 時， $\text{[math]}$ 的最小值為 $\text{[math]}$ ，此時 $\text{[math]}$ 的最小值為 $\text{[math]}$ ．
故答案為： $\text{[math]}$
點評：本題給出含有120度等腰三角形中的向量，求向量 $\text{[math]}$ 模的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積公式及其運算性質和二次函數(shù)的最值求法等知識，屬于中檔題．

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