Question

任給實(shí)數(shù)a，b定義a?b=

a×b，a×b≥0 a b ，a×b＜0

  設(shè)函數(shù)f（x）=lnx?x，若{a_n}是公比大于0的等比數(shù)列，且a₅=1，則f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₇）+f（a₈）+f（a）=a₁，則a₁=（　　）

• A、e²
• B、e
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：設(shè)該數(shù)列的前8項(xiàng)分別為q^-4，q^-3，q^-2，q^-1，1，q，q²，q³，分q＞1時(shí)和0＜q＜1時(shí)兩種情況討論滿足條件的q值，進(jìn)而可得答案．

解答：解：∵a⊕b=

a×b，a×b≥0 a b ，a×b＜0

  
∴f（x）=lnx⊕x=

x•lnx，x≥1 lnx x ，x＜1

故f（x）+f（

1

x

）=x•lnx-x•lnx=0
設(shè)數(shù)列{a_n}的前8項(xiàng)分別為q^-4，q^-3，q^-2，q^-1，1，q，q²，q³，
則f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₇）+f（a₈）=f（a₁）=a₁，…①
當(dāng)q＞1時(shí)，a₁=q^-4＜1，方程①可化為：-q⁴lnq⁴=q^-4，方程兩邊異號(hào)，故無解
當(dāng)0＜q＜1時(shí)，a₁=q^-4＞1，方程①可化為：q⁴lnq⁴=q^-4，解得a₁=q^-4=e
綜上a₁=e
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，涉及函數(shù)的求值以及數(shù)列的求和，屬中檔題．