Question

對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若任給x₀∈D，均有f（x₀）∈D，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上封閉．
（1）試判斷f（x）=x-1在區(qū)間[-2.1]上是否封閉，并說明理由；
（1）若函數(shù)g（x）=

3x+a

x+1

在區(qū)間[3，10]上封閉，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（1）若函數(shù)h（x）=x³-3x在區(qū)間[a，b[（a，b∈Z）上封閉，求a，b的值．

Answer 1

（1）f（x）=x-1在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）的值域?yàn)閇-3，0]
而[-3，0]?[-2，1]，所以f（x）在區(qū)間[-2，1]上不是封閉的；
（2）因?yàn)間（x）=

3x+a

x+1

=3+

a-3

x+1

，
①當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)g（x）的值域?yàn)閧3}⊆[3，10]，適合題意．
②當(dāng)a＞3時(shí)，函數(shù)g（x）=3+

a-3

x+1

在區(qū)間[3，10]上單調(diào)遞減，故它的值域?yàn)?span mathtag="math" >[

30+a

11

，

9+a

4

]，
由[

30+a

11

，

9+a

4

]⊆[3，10]，得

30+a 11 ≥3 9+a 4 ≤10

，解得3≤a≤31，故3＜a≤31．
③當(dāng)a＜3時(shí)，在區(qū)間[3，10]上有g(x)=

3x+a

x+1

=3+

a-3

x+1

＜3，顯然不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是3≤a≤31；
（3）因?yàn)閔（x）=x³-3x，所以h^′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，h^′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，h^′（x）0．
所以h（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
①當(dāng)a＜b≤-1時(shí)，h（x）在區(qū)間[a，b]上遞增，所以

h(a)≥a h(b)≤b

，
即

a3-3a≥a b3-3b≤b

，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，又a＜b≤-1，此時(shí)無解．
②當(dāng)a≤-1且-1＜b≤1時(shí)，因h（x）_max=h（-1）=2＞b，矛盾，不合題意
③當(dāng)a≤-1且b＞1時(shí)，因?yàn)閔（-1）=2，h（1）=-2都在函數(shù)的值域內(nèi)，故a≤-2，b≥2，
又

a≤h(a) b≥h(b)

，得

a≤a3-3a b≥b3-3b

，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，從而a=-2，b=2．
④當(dāng)-1≤a＜b≤1時(shí)，h（x）在區(qū)間[a，b]上遞減，

h(b)≥a h(a)≤b

，即

b3-3b≥a a3-3a≤b

（*）
而a，b∈Z，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足-1≤a＜b≤1的整數(shù)組a，b均不合（*）式．
⑤當(dāng)-1＜a＜1且b≥1時(shí)，因h（x）_min=h（1）=-2＜a，矛盾，不合題意．
⑥當(dāng)b＞a≥1時(shí)，h（x）在區(qū)間[a，b]上遞增，所以

h(a)≥a h(b)≤b

，
即

a3-3a≥a b3-3b≤b

，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，又b＞a≥1，此時(shí)無解．
綜上所述，所求整數(shù)a，b的值為a=-2，b=2．