Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

最大時(shí)，求n的值．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)把a(bǔ)₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25轉(zhuǎn)化為a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，求出a₃+a₅=5，再利用a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2即可首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先利用（1）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和為S_n，，進(jìn)而得到

sn

n

的通項(xiàng)，即可求出當(dāng)

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

最大時(shí)，對應(yīng)n的值．

解答：解：（1）因?yàn)閍₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，所以，a₃²+2a₃a₅+a₅²=25
又a_n＞o，a₃+a₅=5，（3分）
又a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2，所以，a₃a₅=4
而q∈（0，1），所以，a₃＞a₅，所以，a₃=4，a₅=1，q=

1

2

，a₁=16，
所以，a_n=16×(

1

2

)n-1=2^5-n（6分）
（2）b_n=log₂a_n=5-n，所以，b_n+1-b_n=-1，
所以，{b_n}是以4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列（8分）
所以s_n=

n(9-n)

2

?

sn

n

=

9-n

2

（10分）
所以，當(dāng)n≤8時(shí)，

sn

n

＞0，
當(dāng)n=9時(shí)，

sn

n

=0，
n＞9時(shí)，

sn

n

＜0，
當(dāng)n=8或9時(shí)，

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

最大．　�。�13分）

點(diǎn)評：本題第一問考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查方程思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用．在等差數(shù)列、等比數(shù)列問題中基本量是解題的關(guān)鍵，一般是根據(jù)已知條件把基本量求出來，然后在解決問題．