如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形是正方形，，，，，．

（Ⅰ）求異面直線與所成的角的余弦值；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

 

 

 

【答案】

解:（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122201412507188/SYS201205212221042187155237_DA.files/image001.png">是正方形，所以．

故為異面直線與所成的角．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122201412507188/SYS201205212221042187155237_DA.files/image006.png">，所以．故．

在中，，，所以．

因此．  5分

所以異面直線與所成的角的余弦值為．

 

（Ⅱ）過點(diǎn)作，交于，

則，又，

所以．從而．

又，且．

所以．  10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）及已知，可得，即為的中點(diǎn)．

取的中點(diǎn)，連接．則．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052122201412507188/SYS201205212221042187155237_DA.files/image031.png">，所以．過點(diǎn)作，交于．

則為二面角的平面角．

連接，可得．

所以，從而．由已知可得．

由，，可得．

在中，．

所以二面角的正切值為

【解析】略

 

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（Ⅱ）求五面體ABCDEFG的體積．

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